STATISKA
Nama :
Dea Sunara
NIM :
1830511098
Prodi
: Teknik Informatika
Semester
: 3
Pengertian Data Statistik
Data adalah bentuk jamak dari datum. Data itu
sendiri merupakan keterangan-keterangan tentang suatu hal, dapat berupa sesuatu
yang diketahui ataupun dianggap. Jadi dapat diartikan bahwa data itu adalah
sebagai sesuatu yang diketahui atau yang dianggap (anggapan).
Jenis jenis data
·
Data
kualitatif
·
Data
diskret
·
Data
kuantitatif
·
Data
kontinu
(1) Mean (arithmetic mean)
Rata-rata hitung atau arithmetic mean atau
sering disebut dengan istilah mean saja merupakan metode yang
paling banyak digunakan untuk menggambarkan ukuran tendensi sentral. Mean
dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data pengamatan kemudian dibagi dengan
banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan persamaan berikut:
Sampel:
x¯¯¯=x1+x2+x3+⋯+xnn atau x¯¯¯=∑ni=1xin atau x¯¯¯=Σxnx¯=x1+x2+x3+⋯+xnn atau x¯=∑i=1nxin atau x¯=Σxn
Populasi:
μ=x1+x2+x3+⋯+xnn atau μ=∑ni=1xin atau μ=Σxnμ=x1+x2+x3+⋯+xnn atau μ=∑i=1nxin atau μ=Σxn
Keterangan:
∑ = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan n = banyaknya sampel
data N = banyaknya data populasi
x¯x¯
= nilai rata-rata sampel μ = nilai rata-rata
populasi Mean dilambangkan dengan
x¯x¯
(dibaca "x-bar") jika kumpulan data ini
merupakan contoh (sampel) dari populasi, sedangkan jika
semua data berasal dari populasi, mean dilambangkan dengan μ (huruf
kecil Yunani mu).
Sampel statistik biasanya
dilambangkan dengan huruf Inggris,
x¯x¯
, sementara parameter-parameter populasi biasanya dilambangkan dengan
huruf Yunani, misalnya μ
a. Rata-rata hitung (Mean) untuk data tunggal
Contoh
1:
Hitunglah nilai rata-rata dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU
berikut ini: 2; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9
Jawab:
x¯¯¯=Σxn=2 +4 +5 +6 +6 +7 +7 +7 +8 +910=6110=6.10x¯=Σxn=2 +4 +5 +6 +6 +7 +7 +7 +8 +910=6110=6.10
Nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan bisa dihitung dengan
menggunakan formula berikut:
x¯=f1x1+f2x2+….+fnxnf1+f2+⋯+fn=ΣfixiΣfix¯=f1x1+f2x2+….+fnxnf1+f2+⋯+fn=ΣfixiΣfi
Keterangan: ∑ = lambang
penjumlahan semua gugus data pengamatan fi = frekuensi data
ke-i n = banyaknya sampel data
x¯x¯
= nilai rata-rata sampel
Contoh
2:
Berapa rata-rata hitung pada tabel frekuensi berikut:
|
xi
|
fi
|
|
70
|
5
|
|
69
|
6
|
|
45
|
3
|
|
80
|
1
|
|
56
|
1
|
Catatan: Tabel frekuensi pada tabel di atas
merupakan tabel frekuensi untuk data tunggal, bukan tabel frekuensi dari data
yang sudah dikelompokkan berdasarkan selang/kelas tertentu.
Jawab:
|
xi
|
fi
|
fixi
|
|
70
|
5
|
350
|
|
69
|
6
|
414
|
|
45
|
3
|
135
|
|
80
|
1
|
80
|
|
56
|
1
|
56
|
|
Jumlah
|
16
|
1035
|
x¯¯¯=ΣfixiΣfix¯=ΣfixiΣfi
x¯¯¯=103516=64.6
(2) Median
Median dari n pengukuran atau pengamatan
x1, x2 ,..., xn adalah nilai
pengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan.
Apabila banyaknya pengamatan (n) ganjil, median terletak tepat
ditengah gugus data, sedangkan bila n genap, median
diperoleh dengan cara interpolasi yaitu rata-rata dari dua data yang berada di
tengah gugus data. Dengan demikian, median membagi himpunan pengamatan menjadi
dua bagian yang sama besar, 50% dari pengamatan terletak di bawah median dan
50% lagi terletak di atas median. Median sering dilambangkan dengan
x~x~
(dibaca "x-tilde") apabila sumber datanya berasal
dari sampel
μ~μ~
(dibaca "μ-tilde") untuk median populasi. Median
tidak dipengaruhi oleh nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi
mereka. Prosedur untuk menentukan nilai median, pertama urutkan data terlebih
dahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini:
·
Banyak data ganjil →
mediannya adalah nilai yang berada tepat di tengah gugus data
·
Banyak data genap →
mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data
a. Median data tunggal:
Untuk menentukan median dari data tunggal, terlebih dulu
kita harus mengetahui letak/posisi median tersebut. Posisi median dapat
ditentukan dengan menggunakan formula berikut:
PosisiMedian=(n+1)2PosisiMedian=(n+1)2
dimana n = banyaknya data pengamatan.
Median apabila n ganjil:
Contoh 5:
Hitunglah median dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU
berikut ini: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7; 7; 2; 9; 10
Jawab:
·
data: 8; 4; 5; 6; 7; 6; 7;
7; 2; 9; 10
·
setelah diurutkan: 2; 4;
5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 9; 10
·
banyaknya data (n) = 11
·
posisi Me = ½(11+1) = 6
·
jadi Median = 7 (data yang
terletak pada urutan ke-6)
|
Nilai
Ujian
|
2
|
4
|
5
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
Urutan data ke-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
(3) Mode
Mode adalah data yang paling sering muncul/terjadi. Untuk menentukan
modus, pertama susun data dalam urutan meningkat atau sebaliknya, kemudian
hitung frekuensinya. Nilai yang frekuensinya paling besar (sering muncul)
adalah modus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data
kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Beberapa
kemungkinan tentang modus suatu gugus data:
·
Apabila pada sekumpulan data terdapat
dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan bimodal.
·
Apabila pada sekumpulan data terdapat
lebih dari dua mode, maka gugus data tersebut dikatakan multimodal.
·
Apabila pada sekumpulan data tidak
terdapat mode, maka gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus.
Meskipun suatu gugus data mungkin saja tidak memiliki modus, namun pada
suatu distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis.
·
Untuk gugus data yang distribusinya
simetris, nilai mean, median dan modus semuanya sama.
·
Untuk distribusi miring ke kiri
(negatively skewed): mean < median < modus
·
untuk distribusi miring ke kanan
(positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean > median >
modus.
Hubungan antara ketiga ukuran tendensi sentral untuk data yang tidak
berdistribusi normal, namun hampir simetris dapat didekati dengan menggunakan
rumus empiris berikut:
Mean - Mode = 3 (Mean - Median)
a. Modus Data Tunggal:
Contoh
8:
Berapa modus dari nilai ujian matematika kelas 3 SMU berikut ini:
·
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
·
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9
·
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9
·
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9
·
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Jawab:
·
2, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9→ Nilai yang sering muncul adalah angka 7 (frekuensi terbanyak =
3), sehingga Modus (M) = 7
·
2, 4, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9 → Nilai yang
sering muncul adalah angka 6 dan 7 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga
Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena
mempunyai dua modus. Karena ke-2 mode tersebut nilainya berurutan, mode sering
dihitung dengan menghitung nilai rata-rata keduanya, ½ (6+7) = 6.5.
·
2, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9 → Nilai yang
sering muncul adalah angka 6 dan 8 (masing-masing muncul 3 kali), sehingga
Modusnya ada dua, yaitu 6 dan 8. Gugus data tersebut dikatakan bimodal karena
mempunyai dua modus. Nilai mode tunggal tidak dapat dihitung karena ke-2 mode
tersebut tidak berurutan.
·
2, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9 → Nilai yang
sering muncul adalah angka 5, 6 dan 7 (masing-masing muncul 2 kali), sehingga
Modusnya ada tiga, yaitu 5, 6 dan 7. Gugus data tersebut dikatakan multimodal
karena modusnya lebih dari dua.
·
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → Pada
gugus data tersebut, semua frekuensi data sama, masing-masing muncul satu kali,
sehingga gugus data tersebut dikatakan tidak mempunyai modusnya
(4) Rata-rata Ukur (Geometric Mean)
Untuk gugus data positif x1, x2, …, xn,
rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalian unsur-unsur datanya.
Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
U=x1.x2.x3….xn−−−−−−−−−−−−−√natauU=∏i=1nxi−−−−−√natauLog(U)=Σlog(xi)nU=x1.x2.x3….xnnatauU=∏i=1nxinatauLog(U)=Σlog(xi)n
Dimana: U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik) n =
banyaknya sampel Π = Huruf kapital π (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil
kali unsur-unsur data. Rata-rata geometrik sering digunakan dalam bisnis dan
ekonomi untuk menghitung rata-rata tingkat perubahan, rata-rata tingkat
pertumbuhan, atau rasio rata-rata untuk data berurutan tetap atau hampir tetap
atau untuk rata-rata kenaikan dalam bentuk persentase.
\
a. Rata-rata ukur untuk data tunggal
Contoh 10:
Berapakah rata-rata ukur dari data 2, 4, 8?
Jawab:
U=(2)(4)(8)−−−−−−−−√3=64−−√3=4U=(2)(4)(8)3=643=4
atau:
Log(U)=Σlog(xi)nLog(U)=Σlog(xi)n
Log(U)=log(2)+log(4)+log(8)3=0.3010+0.6021+0.90313=0.6021Log(U)=log(2)+log(4)+log(8)3=0.3010+0.6021+0.90313=0.6021
U=100.6021=4U=100.6021=4
(5) Rata-rata Harmonik (H)
Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1,
x2, …, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata
hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula
berikut:
H=n∑(1xi)H=n∑(1xi)
Secara umum, rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata
ini hanya digunakan untuk data yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata
harmonik sering digunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data
yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan.
a. Rata-rata harmonic untuk data tunggal
Contoh 12:
Si A bepergian pulang pergi. Waktu pergi ia mengendarai
kendaraan dengan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam.
Berapakah rata-rata kecepatan pulang pergi?
Jawab:
Apabila kita menghitungnya dengan menggunakan rumus jarak
dan kecepatan, tentu hasilnya 13.5 km/jam! Apabila kita gunakan perhitungan
rata-rata hitung, hasilnya tidak tepat!
x¯¯¯=(10+20)2=15 km/jamx¯=(10+20)2=15 km/jam
Pada kasus ini, lebih tepat menggunakan rata-rata harmonik:
x¯¯¯=2110+120=403=13.5 km/jam
